闲谈对偶（五）

无墨

3 Q8 n! q. H$ }

（新几何）

前面我们引出了正多面体的对偶关系这样一个概念。现在看些和它的对偶性有关的发展。

 

现代数学在古希腊文明中已具雏形。那时候的人比较呆板。柏拉图和他的弟子们在数学上表现出来的爱好和兴趣，和在艺术和哲学一样，崇尚自然，追求唯美与理性，鄙视应用。

, j( l% D/ }6 X7 ]- R

 

' u9 ]& v' n5 l; M: s1 v3 X+ ?

古希腊的人看到空间中的几何体，首先挖掘的是它们在高度对称中蕴涵的唯美性。研究的是这世界上究竟有多少这样的几何体，有什么样的对偶等等。前前后后花了几百年，到柏拉图的时候算是搞清楚了。不多，只有下面的五个“柏拉图立体”。

- T/ L5 h+ D4 r. y7 D* u( E

 

- F1 M# O" V- V n, U: x; q

( T9 J) ~! A. h6 s8 g" M2 b

这些立体都是些正多面体。其中正四面体自恋情结重一点，自己是自己的对偶；正六面体和正八面体互为对偶；正十二面体和正二十面体则同为一家人。

, R0 ^0 Q6 d7 z3 u; }. ]

 

看看这些大苯块，比比同时期古希腊艺术的代表作《扔铁饼的人》，我们几乎可以用一样的词汇来描绘这些柏拉图立体和雕塑：丰满厚实、平稳对称、简单明确、完美纯粹；也可以想象出当时的数学家和艺术家在工作和辩论中同样执着到狂热的表情。。。

 

 

/ a( w2 a( p0 {

到了十六世纪，人们的思想开化复杂一些了，开普勒说你只想到了凸的正多面体，如果允许多面体凹下去，还有下面显示的四个“开普勒一泊洼松多面体”，而且正好成为两对对偶。

1 b* s: W7 y6 G5 Y- o) |. D* O5 o j; _

 

 

& t2 F3 G$ `' \7 I0 h) I# N% d

在上面的图里，第一个和第二个互为对偶，第三个和第四个互为对偶。这几个多面体，看上去也是更有趣一些吧。现在去一些美术馆博物馆，还能买到它们做的装饰品。

 

& n4 N$ J- J# N

如果看看下面这张同时期的开普勒肖像，也许你就可以理解为什么他能够发现这些奇形怪状的东西。

( E" f3 i5 W; w. E; @# N

 

9 G9 _' @6 \5 x+ X# W

这条线一直走到十九世纪才算完结。下回补完。

 

% [) W# ^; g* ]1 _. f

结束以前，解释一点顶上的画。以前中外老祖宗们无限尊敬的几何，在现代人的手下已经玩出太多的花样，面目全非了。这幅涂鸦名曰《新几何》，是以它代表今日几何的风骚和“变态”。与上面的“老几何”比较，今日几何脂粉味浓重多多。有人要说人心不古，也不算过分。我这算试一试表达现代艺术和现代科学之间的瓜葛