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[CW] 闲谈对偶(四)

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发表于 2008-2-28 07:38:41 | 显示全部楼层 |阅读模式
<P><SPAN style="FONT-SIZE: 85%" _proxify_is_proxified="true"><FONT size=3><IMG src="http://www.chiwang.com/pb/gifs/cw67.jpg"></FONT></SPAN></P>
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<P><SPAN style="FONT-SIZE: 85%" _proxify_is_proxified="true"><FONT size=3>(昔日斑斓) </FONT></SPAN></P>
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, x3 w' H2 V2 g$ \& ^* t" j/ S<P _proxify_is_proxified="true">&nbsp;</P>/ ^* e0 U/ Y/ K. m0 |
<P _proxify_is_proxified="true">在看其它极小极大对偶定理以前,先放松一下,看些比较直观的老古董几何对偶关系。上面这幅画,算是配合一下这里的思古幽情。历史长河上上下下,昔日斑斓,任由今人各取所需。</P>
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<P _proxify_is_proxified="true">之所以说是老古董,是以为下面提到的东西确实已是昨日黄花,里面没有多少可研究、有意义的东西了。有人把它们划分成“娱乐数学”,也不无道理。当然,从它们演生出来的其它分枝还是有继续热闹的,比如群论、编码等。</P>8 E- z1 N2 w# a+ K: n( P4 `
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, @! [: G' [/ U  {( h* k# ?<P _proxify_is_proxified="true">在几何里,多面体是指由一些直线和平面围起来的几何形体。一个多面体是正多面体如果它的每个面都是一个等边形,就象下面的例子。</P>2 U: l0 @* D8 s3 u" G: p
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: m% O: S7 C' s% m<P _proxify_is_proxified="true"><IMG style="DISPLAY: block; MARGIN: 0px auto 10px; CURSOR: hand; TEXT-ALIGN: center" src="http://www.chiwang.com/pb/gifs/p4.png" onload="javascript:if(this.width>450) this.width=450" border=0 _proxify_is_proxified="true"></P>2 E  F9 y7 S" Y. V# L" U7 p' f
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<P _proxify_is_proxified="true">拿一个正多面体,在它的每个平面的中心画一个点。如果两个平面相邻,有公共的边,就在这两个面的点之间连一条线。这些新的点和线会构造出一个新的多面体(仔细想想,这并不是很显然的事)。这个新多面体就叫原来的多面体的对偶多面体。</P>
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<P _proxify_is_proxified="true">这里看一个具体的例子。一个等边四方体,也是一个正六面体。按上面描述的方法,你可以发现正六面体的对偶多面体是一个正八面体。就象下面的图一样,左边是原来的四方体,右边是放大了的它的正八面对偶多面体。</P>
* [0 F4 I, E# q4 r' Z: a<P _proxify_is_proxified="true"><IMG style="DISPLAY: block; MARGIN: 0px auto 10px; WIDTH: 280px; CURSOR: hand; TEXT-ALIGN: center" src="http://www.chiwang.com/pb/gifs/cubicdual.gif" onload="javascript:if(this.width>450) this.width=450" border=0 _proxify_is_proxified="true"></P># ?* G4 _7 e2 T  l# G. c  v
<P _proxify_is_proxified="true">现在,我们画画这个八面体的对偶,也就是做我们在六面体上做过的事,在每个面上画个点,然后每两个相邻面上的点之间画条线。试一试你就会看到,我们又得到一个正六面体。</P>5 Z! q4 p, [1 v7 g" h, v
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' b" O5 Q5 Z1 J8 a* s' O<P _proxify_is_proxified="true">这当然不是偶然。如果不在乎长度和面积,你在正六面体上看到的就是“正凸多面体”的“对偶的对偶是自身”的对偶关系。</P>5 F" q6 N9 a, s6 V8 r: w0 t/ A
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<P _proxify_is_proxified="true">和前面提到的极小极大对偶定理相比,这种正多面体之间的对偶关系直接简单的多,人见人懂,动手试试就可以验证,即使要证明也不会太难,国内的中学生应该都能做得到。所以,这种对偶关系在一个多面体上只能说有趣。</P>. {% J; {  Q1 d
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<P _proxify_is_proxified="true">真正有些意思的,是把它的更广泛的命题假设。例如有多少正多面体,都什么样,它们的对偶有是什么,对偶的多面体之间有些什么性质,还有别的类似的对偶关系没有等等。</P>0 I" E. J4 j% f" B- w( V1 D
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<P _proxify_is_proxified="true">所以说,数学和哲学常常就那么一线之差。在任何事情上,绝对是要刨根问底的。存在性肯定是第一要挖掘的,有没有一定要搞明白;起源和构成肯定不会放过,一定要看看怎么能构造出来;真伪的判别决不会含糊,要有办法鉴定的清清楚楚。</P>
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<P _proxify_is_proxified="true">数学对的美学的崇拜,也决断不差于美术、音乐。凡事追求完美,简练。系统要完整,理论要丰富,形式要漂亮,证明要有节奏、方法要有创新、影响要深远、应用要广泛。。。我想,还是一句话,人做事,没有不求美的。差别,只是形式和认识的不同。</P>
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<P _proxify_is_proxified="true">后面,我们走几条不同的路,从不同角度的看看多面体对偶的脸面,以避免盲人摸象的悲剧再演。当然这麻袋里买的瓜,瓤子里说的还是数学这东西也不只是拿来折腾人的,也可以玩味一番。</P>
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