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(对偶重叠) ! p# v8 X6 V& j
对偶这个词并不仅为数学所有。对偶性的概念,古今中外,在哲学、语言、美术、音乐、宗教、建筑、物理、数学等不同领域炒了几千年。可能因为语言的原因,我们中国人对对偶更是情有独衷。不过,不少国人把对偶等价为对应、对比、对立、对仗。谈文论词的人,有的就直接说对偶就是对仗。还有人更把对偶简化为成双成对的同意词。 # J9 t' a6 L3 ~: l% X. o6 s
6 b2 Z; Q& p/ @+ K6 [. ?; X* F刘勰的《文心雕龙》有“造物赋形,支体必双;神理为用,事不孤立。大心生文辞,运裁百虑,高下相须,自然成对”之说。虽然刘勰在评说文之道,但第一句却更是概谈自然造化,天理人伦。倒是比现在很多“学者”更深刻。 % W: \+ ~0 _/ ]: C/ y4 a' s& G! [
* \4 J/ I: L& M& A0 t; H数学以外的对偶多包含美学方面的含义和手法。中国诗词文法讲音韵形意、变化对比;哲学讲真真假假、生生灭灭、因果起源、天律人道;国画书法讲黑白浓淡、枯润干湿、抑扬顿挫;色彩素描讲冷暖明暗、虚实强弱。这些例子,大部分也是关于比较直观的两极对应或相关对比,同时在两极之间留下很大的空间,容纳更细腻的变化对比层次。 1 R: t' y3 s# l- v4 C, ^
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数学的对偶性的也讲“对”。一个对偶定理通常包涵两个对偶量,例如“极小极大值”和“极大极小值”、“线匹配”和点“覆盖”,“独立集”和“完全集”,“点”和“线”,一个凸多面体和它的对偶多面体等等。但数学的对偶定理中涉及到对偶量或对偶的实体,通常并不显而易见,更多是隐藏于直观表面之下。 - G+ ~8 h, v/ z( R2 w9 |
$ X5 I7 ~* T, f) g8 Q5 ~& O2 i这有些类似色彩上的冷暖关系。一幅画色彩上的冷暖关系虽然肉眼可见,却并不肤浅。大多数人对色彩的冷暖更是相见不相识。一幅画的明暗对比构图分布固然重要,但冷暖才是色彩之所以漂亮、有空间、有颜色的真正原因。色彩的冷暖是认识上的一大飞跃。眼界高了,可以有很多神来之笔,在混沌中创造出意想不到的绚丽。
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( _6 c g* W, v) t同样,研究一个数学问题,在很多时候,首先要找出来是最能够揭示问题的本质的性质或量。如果你找到了与问题本质有关的属性或数量,也许离问题的解决就不远了。所以了解欣赏一个数学的对偶定理,定理里面的对偶量就是首先值得揣摩的地方。同时,也是学习了解数学的思维方式和探索解决问题方法的好起点。 ; p& ^2 t0 T4 _3 N" J. w
5 O" C7 r' Z4 a _( A! W顶上的图形,取自于我用Photoshop手画的一个图案的细节,用了Difference过滤,也相当于无数的对偶变换重叠。表面上很复杂。但一旦了解了Photoshop这个过滤所用的算法,就可以做系列的分解。
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% I0 D. q) X. i& x上面提到的数学对偶性中的对偶量的例子,都是有关问题中与问题的更本性质有关。后面还会仔细介绍。下面,会用数学的第一个对偶定理的对偶量做我们的第一个例子。
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