闲谈对偶（六）

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(淡彩花卉)

 

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这幅画是拿家里桌子上的花草做一个三维到二维空间的“淡彩白描”投影。我这里当然是比传统的白描“花哨”的多，零八年了嘛，加些时代感。如果你能从这幅画上看出花草的话，下面的四维多面体的投影是一个道理，但老实简单的多，对你应该是小菜一碟。

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根据前面的叙述，到了十六世纪，人们已经把传统意义下的正多面体的存在性和它们的对偶都已经了解了。下面我们把更广泛意义下的正多面体和它们的对偶交代完。

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到了十九世纪的时候，三维空间已经不能禁锢人们的思想，人类开始更高层次的狂想。多维空间的鼻祖之一的施莱夫利（Schläfli）发现了四维空间里的凸正多面体，并且证明刚好有六个。其中的五个可以看成是四维的柏拉图立体（见《闲谈对偶（五）》），另一个则在三维空间里没有对应的柏拉图立体。

 

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下面是把这六个四维的怪物用透视投影的方式放到我们肉眼能见的三维空间里的“样子”。

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在上面的六个四维正多面体中，第一个和第四个自己是自己的对偶；第二个第三互为对偶；第五和第六也互为对偶。下面是与三维空间里的正多面体没有“对应”的“24-Cell”(上图里的第四个)在三维空间里更直观的“投影”：

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也许，大家会觉得看到数学家走火入魔的迹象。四维空间听起来麻烦，其实，我们都很习惯三维到二维的投影。 上面这些图形和国画的白描很类似，都是高维空间的立体借用点线和几何透视在低维的空间里的投影。上面的示意图里的点和线都对应四维空间里的点和线。

在四维以上的空间里，施莱夫利把剩下的麻烦全部解决了。他证明了每个四维以上的空间恰好只有三个“凸正多面体”。它们相当于三维空间里的正四面体、正六面体、和正八面体。其中与正四面体对应的自己是自己的对偶；其余对应于正六面体和正八面体的两个相互对偶。

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施莱夫利还证明了，四维空间以上没有非凸的正多面体裁。而在四维空间里，一共有十个非凸的正多面体。用前面提到过的透视投影方法，下面是这些非凸的四维正多面体在三维空间里的样子。

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所以，除了一维和二维空间以外，我们已经把三维以上的所有正多面体和它们之间的对偶关系交代完了。下面我们把一维和二维的补上。

一维空间里只有点线而没有面，一维空间的正多面体是任何一条直线。那里的面就是两端点。因为两个端点在同一条线上，所以线的对偶就是它自己。而二维空间的正多面体就多了。所有的等边形都可以算是。而且它们的对偶也是自己。下面的图显示的就是二维的正四边形的对偶性质。你自己可以画画别的，例如正五边形等。

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到此为止，在正多面体的存在性和对偶性上，我们规规矩矩地走马观花，到此为止。其实，如果深入到具体的证明和构造中，还有更多让人赞叹其漂亮、优美、细腻、奇异的地方。这也是为什么几何总是趣味数学的热闹题目之一。

 

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不厌其烦的把一维到高维空间的所有凸的和非凸的正多面体都列出来，一是因为这里提到的很多奇异的几何体都是所谓“数学美术”的对象，很有些视觉趣味，可以在很多书和网页里看到它们。

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二是在这个题目的发展过程里中可以看到一些理论数学发展的痕迹。例如它关心的问题等：一种性质是否在一定的对象上存在、如果存在又在什么样的具体对象的上出现、同样的概念和性质有怎样推广等等。

 

三是和正多面体本身的对称相比，这里介绍的几何体的对偶性概念比直观的几何体的对称是更高一级的抽象关系。这也是让我们真正感兴趣的关系。